Теоретическая механика. Основные законы и формулы по теоретической механике

Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

Институт открытого дистанционного обучения

Аистов А.С., Баранова А.С., Трянина Н.Ю.

Теоретическая механика

Часть II. Кинематика и динамика твердого тела

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Нижний Новгород – 2004

ББК 22.21 Т 11

Аистов А.С., Баранова А.С., Трянина Н.Ю. Теоретическая механика. Часть II. Кинематика и динамика твердого тела. Учебное пособие.– Н.Новгород: Нижегорд. гос. архит.-строит. ун-т., 2004.– 69 с.

ISBN 5-87941-303-9

Учебное пособие содержит основные сведения и теоретические положения кинематики и динамики твердого тела. Включает задания для контрольных работ по кинематике и динамике, краткие сведения из теории, рекомендации по решению задач, примеры решения типичных задач.

ISBN 5-87941-303-9

РАЗДЕЛ 1. КИНЕМАТИКА

Введение

Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение, т.е. изменение положения одного тела относительно другого тела, с которым связана система отсчета, которая может быть как движущейся, так и неподвижной, без учета действующих сил.

Относясь к разделу фундаментальных наук, теоретическая механика и кинематика как важная составная часть ее, является основой для изучения многих дисциплин, изучающихся в высшей технической школе.

Законы и методы теоретической механики находят широкое применение в изучении важнейших задач техники, таких как конструирование различных сооружений, машин и механизмов, изучение движения космических тел, решение задач аэродинамики, баллистики и других.

Теоретическая механика, основанная на трудах Аристотеля, Архимеда, Галилея, Ньютона, носит название классической механики, в ней рассматривается движение тел со скоростями, много меньшими скорости света.

Механическое движение происходит во времени в пространстве, при этом в классической механике пространство считается трехмерным, подчиняющимся евклидовой геометрии; время считается протекающим непрерывно и одинаково во всех системах отсчета.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ

Все кинематические величины, характеризующие движение тела или его отдельной точки (расстояние, скорости, ускорения и т.д.) рассматриваются как функции времени.

Решить задачу кинематики значит найти траекторию, положение, скорость и ускорение каждой точки тела.

Траектория точки – это геометрическое место последовательных положений, занимаемых точкой в пространстве при ее перемещении.

Скорость точки – это векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения точки в пространстве.

Ускорение точки – это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

2. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

2.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором отрезок соединяющий две любые точки тела перемещаются параллельно самому себе.

При поступательном движении твердого тела скорости и ускорения всех точек тела геометрически равны и траектории всех точек идентичны, т.е. при наложении совпадают, поэтому достаточно точно знать характеристики движения одной точки тела.

2.2. Вращательное движение твердого тела

2.2.1. Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательным называется движение твердого тела, при котором остаются неподвижными хотя бы две точки тела. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения . Все точки тела, лежащие на оси, при вращении остаются неподвижными. Все остальные точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на оси, а радиусы равны расстояниям от точек до оси (рис.1). Точки А и В удерживаются неподвижными с помощью подпятника и подшипника соответственно.

Выберем положительное направление оси z и проведем через нее неподвижную плоскость I, вторую плоскость II также проведем через ось и свяжем ее с телом. При вращении плоскость II будет образовывать угол с плоскостью I. Линейный угол ϕ этого движущегося угла называется углом поворота. Если функция ϕ = f (t) известна, то вращательное движение считается заданным. Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота, называется угловой скоростью . Угловая скорость ω определяется как производная по времени от угла поворота

ω= d dt ϕ =ϕ& (рад/сек) или (с-1 )

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, называется угловым ускорением , которое определяется как вторая производная от угла поворота по времени или первая производная от угловой скорости

	d 2 ϕ
	dt 2 dt

ε=ϕ&&=ω& (рад/сек2 ) или (с-2 )

Если первая и вторая производная от угла ϕ по времени имеют одинаковый знак, то вращение ускоренное, если разный знак – то замедленное. Если угловая скорость постоянна, то вращение равномерное (при этом угловое ускорение ε =0).

2.2.2. Скорость и ускорение точки вращающегося тела

Скорость движения точки тела по окружности называется вращательной скоростью, и модуль ее зависит от расстояния от точки до оси вращения.

V = ω ОМ

Вектор скорости направлен перпендикулярно радиусу окружности, описываемой точкой, в сторону вращения (рис.2).

Ускорение точки вращающегося тела имеет две составляющие – центростремительное и вращательное ускорения.

Ацс = ω 2 ОМ авр = ε ОМ

Вектор a цс направлен от точки к оси вращения, вектор a вр направлен перпендикулярно радиусу в сторону ε .

Вектор полного ускорения a равен геометрической сумме a цс и a вр

a = a цс + a вр ,

а модуль полного ускорения определится по формуле

а = ОМ ω 4 +ε 2

2.2.3. Векторное выражение скорости, центростремительного и вращательного ускорений точек вращающегося тела

Принято считать, что угловая скорость и угловое ускорение – это векторы, направленные по оси вращения, причем вектор ω направлен по оси таким образом, чтобы с его конца вращение представлялось происходящим против хода часовой стрелки, вектор углового ускорения ε также направлен по оси в ту же сторону, что и ω при ускоренном вращении, либо в противоположную – при замедленном.

Вращательная скорость точки, центростремительное и вращательное ускорения могут быть представлены в виде векторных произведений (рис.3).

v =ω x r ,

a цс = ω x v = ω x ω x r

a вр = ε x r

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Кубанский государственный технологический университет»

Теоретическая механика

Конспект лекций

для бакалавров ЗиДО

технических направлений

КИНЕМАТИКА

Составители: д.т.н., проф. Смелягин А.И.

к.т.н., доц. Кегелес В.Л.

Краснодар 2011

1 Кинематика. Общие понятия 2

2 Кинематика точки 2

3 Кинематика твердого тела 7

3.1 Поступательное движение твердого тела 7

3.2 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 7

3.3 Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела 9

3.4 Сферическое движение 15

4 Сложное движение точки 17

1 Кинематика. Общие понятия

Кинематика - раздел теоретической механики, в ко­тором изучается движение материальных тел без учета причин, вызывающих это движение.

В классической механике движение материальных тел рассматривается в трехмерном евклидовом пространстве, а время считается абсолютным, независя­щим от системы отсчета.

Система отсчета - система координат, неизменно связанная с телом, по отношению к которому рассматривается движение изучаемых объектов.

Если система отсчета находится в покое, то движе­ние объекта относительно нее называют абсолютным. Движение объекта по отношению к подвижной системе отсчета называют относительным.

Методы кинематики дают возможность определить положение изучаемого объекта в рассматриваемой системе отсчета, а также найти его скорость и ускоре­ние в любой момент времени.

Изучение раздела начинают с кинематики точки (изо­лированной, принадлежащей твердому телу или сплошной среде), затем переходят к рассмотрению движения твердых тел и их систем.

2 Кинематика точки

Характеристиками движения точки в любой момент времени являются ее положение, скорость и ускорение.

Геометрическое место последовательных положений точки называется траекторией.

Для определения характеристик движения и траекто­рии точки обычно используют три способа задания ее движения - векторный, координатный, естественный.

Векторный способ задания движения

Положение точки в любой момент времени задается радиус-вектором , проведенным из некоторого неподвижного центра.

Уравнение движения:
.

Траектория точки - это годограф вектора .

Средняя скорость точки за вре­мя Δt

, где
.

Скорость точки в момент вре­мени t

.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в данной точке.

Среднее ускорение точки за время Δt

, где
.

Ускорение точки в момент времени t

.

Этот способ используется, как правило, при теорети­ческом анализе закономерностей движения.

Итак,
;
;
.

Координатный способ задания движения

Для описания движения точки используются системы координат: декартовая, полярная, цилиндрическая, сфе­рическая и др.

Положение точки в декартовой системе координат в любой момент времени определяется ее координатами x, у, z.

уравнение движения точки

Эти уравнения определяют траек­торию точки в параметрической форме.

Уравнения траектории точки в координатной форме можно получить,

исключая параметр t из уравнений дви­жения, в виде системы уравнений
,
.

Скорость .

Таким образом,
,
,
.

Модуль скорости
.

Направляющие косинусы

;
;
.

Ускорение ,

тогда
,
,
.

Модуль ускорения
.

Направляющие косинусы
;
;
.

Новосибирский Государственный Архитектурно-Строительный
Университет (Сибстрин)
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
КИНЕМАТИКА
ЛЕКЦИЯ 3.
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО
ТЕЛА
Кафедра теоретической механики

План лекции

Введение.
Закон плоского движения.
Скорости точек тела.
Ускорения точек тела.
.
Заключение.

На прошлых лекциях

Мы уже изучили:
-Кинематику точки
-Поступательное движение твердого тела
-Вращательное движение твердого тела
Тема сегодняшней лекции:
Плоское движение твердого
тела
Q
O
Определение. Плоским
называется такое движение
P
твердого тела, при котором все x
его точки М(t) движутся в
плоскостях Q, параллельных
некоторой неподвижной
плоскости P.
M
A S
y

Цель лекции

Изучить плоское движение
твердого тела

Введение
Примеры:
-Вращательное движение (плоскость P –
перпендикулярна оси вращения)
-Движение самолета на крейсерском режиме
(плоскость P - перпендикулярна размаху крыльев)
-Движение колес автомобиля по прямой дороге
(плоскость P – вдоль кузова автомобиля)
-Движение плоских механизмов:
vB
vA
C
A
B
N
M
D
E

Введение
Q
O
P
M
A S
y
x
Утверждение. Все точки прямой AM,
перпендикулярной P, движутся одинаково.
Доказательство. Т.к. тело твердое, то АМ=const;
Т.к. P параллельно Q, то отрезок AM остается
перпендикулярным P . Значит его движение
поступательно. Следовательно все его точки
движутся одинаково.
Вывод: Задача сводится к изучению движения
сечения S в плоскости P.

y
Движение плоской фигуры S
относительно системы Oxy
полностью определится
A
yA
движением отрезка AB
O
xA (t), y A (t)
B
φ
xA
- определяют движение полюса A.
t - определяет вращение AB вокруг полюса A.
xA xA (t), y A y A (t), (t)
- закон плоского движения твердого тела
x

Закон плоского движения твердого тела
Интерпретация. Введем вспомо- Y y
гательную систему:
Ax1 y1; Ax1 параллельна Ox,
B
1
x1
A
Ay1 параллельна Oy;
O
В системе Ax1 y1 тело совершает враща
X
тельное движение. Система Ax1 y1 движется
относительно Oxy поступательно
Плоское движение – есть сумма поступательного
движения вместе с полюсом A и вращательного
движения относительно полюса A
x A (t), y A (t) задает поступательное движение
(t) задает вращательное движение

Интерпретация

1
а)
A
B
2
B"
1"
1
б)
φ
A"
1"
2
B
A
B"
φ
A"
Перевод сечения из положения 1 в положение 2 можно
рассматривать как суперпозицию двух движений:
поступательного из 1 в 1" и вращательного из 1" в 2
вокруг точки A".
В качестве полюса можно выбрать любую точку. На
рис. б) в качестве полюса выбрана точка В.
Внимание: Длина пути при поступательном перемещении изменилась, но угол поворота остался прежним!
Т.е. поступательная часть от выбора полюса зависит, а
вращательная часть – не зависит!

Закон движения и траектории точек тела

rM (t) rA (t) (t)
xM (t) x A (t) (t) cos((t))
y1
y
rM
yM (t) y A (t) (t) sin((t))
Пример (движение эллипсографа)
AB l , AM b;
y
O
rA
B
x1
x
Определить закон движения
и траекторию точки M
M
B
xM (t) (b l) cos (t)
A
A
M
ρ
O
x
yM (t) b sin (t) закон движения
xM2
yM2
2 1 эллипс
2
(b l)
b

Скорости точек тела

y1
rM (t) rA (t) (t)
y
rM
Дифференцируя, получим:
M
ρ
B
x1
A
v M v A v MA
x
r
O
v A скорость полюса
d
v MA
скорость вращения вокруг полюса
dt
(v MA скорость M в системе Ax1 y1).
A
vM
vMA AM
v MA
vA
A
M
vA

Следствия формулы для скоростей точек

Следствие 1. Проекции скоростей двух точек твердого
vB
тела на прямую, их соединяющую, равны.
Доказательство.
v B v A v BA
v B cos v A cos
Следствие 2. Если точки
A,B,C лежат на одной
прямой, то и концы
векторов v A , v B , v C
лежат на одной прямой,
причем ab/bc AB/BC
vA
A
vBA
β
α
α
B
vA

МЦС – это точка, скорость которой
A
равна нулю в данный момент времени.
C
Пример. Катящийся без проскальзыL
вания диск. МЦС-точка С.
Утверждение. Если угловая скорость не равна нулю
для данного t, то МЦС существует и единственен.
vA
Доказательство.
A
Т.к. 0 то A и B, v A v B .
C
Если v A и v B не параллельны: B A
v A v C v AC ; v B v C v BC
Если v C 0 то v A AC , v B BC
C найдено.
B
vB

Мгновенный центр скоростей (МЦС)

Если v A и vB параллельны:
A
B
C
в)
б)
a)
vA
A
vA
vB
C
vB
vA
A
B
vB
B
Если 0 то случай в) невозможен
(по теореме о проекциях)
Если 0 то для всех A, B: v A v B
и МЦС не существует

Свойства МЦС.
Пусть P- МЦС. Выбирая P за полюс, получим:
v A ω PA; v B ω PB;
v A PA; v B PB
vB
vA vB vC
Или:
...
AP BP CP
Причем v С PС
v B PB
A
P
vA
ω
B
Вывод. Если МЦС (точку P) взять за полюс, то
плоское движение для данного t представляет собой
чистое вращение вокруг точки P

МЦУ(пример)
Пример. Колесо катится без проскальзывания по
прямой дороге.
A
B
vA
C
vB
vC
D
ω
vD
P E
vA
A
B
vB
D
vD

Пример (расчет скоростей плоского механизма)
Дано: OA , r1 r2 r, BD CD l
Определить v A , v B , v D , BD ; CD
Решение.
A
O
OA: v A OA OA ;
AB: P1 - МЦС AB v B BP1 ;
vA
P1
vB
D
B
45º P
BD
vD
ω AB v A /AP1 v B /BP1 v B 2 2r OA
BD: PBD МЦСBD BD v B / BPBD v D / DPBD
BD 4r OA / l , v D 2 2r OA
CD: v D CD, CD v D / CD 2 2r OA / l
C

Ускорения точек тела.

Имеем равенство: v B v A ω ρ
Продифференцируем его:
d v B dv A dω d ρ
aB
ρ ω
dt
dt
dt
dt
z
aA ε ρ ω ω ρ
y
B
aBA n
aBA
vBA
A
O
z1
ω
aA
ɛ
x
n
aBA ; aBA vBA
n
aB a A aBA aBA
Ускорение точки B равно сумме ускорения полюса A и
ускорения вращения точки B вокруг полюса A

Следствие формулы для ускорений точек

c
a
aA
A
b
aB
B
aC
C x
Рис. 13.19
Следствие. Если точки
на одной прямой,
A,B,C
лежат
то и концы векторов aA , aB , aC
лежат на одной прямой, причем ab/bc AB/BC

Мгновенный центр ускорений (МЦУ)

МЦУ- это точка Q , ускорение которой в данный
момент времени t равно нулю.
Утверждение. Для непоступательного движения МЦУ
В
существует и единственен.
a
B
A
aA
Доказательство.
aA aQ a AQ ; Q МЦУ
2
aA a AQ ; tg / ;
aC
C
Q
a A AQ 2 4 AQ a A / 2 4
Распределение ускорений как при вращении вокруг Q.
aA / AQ aB / BQ aC / CQ
2
Замечание. МЦС и МЦУ- разные точки!
4

Кинематический расчет плоского механизма

Пример. Дано: OA , OA
Определить:
v A , v B , AB ,
BC , aA , aB , AB , AB
Схема решения.
1. Расчет скоростей.
OA: v A OA; v A OA;
AB: v B BC PAB МЦС AB ; ωAB v A /APAB v B /BPAB
BC: ωBC v B /BC

Кинематический расчет плоского механизма

2. Расчет ускорений.
OA: a An 2OA; a A OA;
n n
2
AB: aB a A aBA aBA ; aBA AB
AB; a BA AB AB;
n
2
BC: aB aB aB (*); aBn BC
BC ; a B BC BC
n n
n
aB aB a A a A aBA aBA (**)
В (**) две неизвестные: AB , BC . Проецируя (**) на
две оси, найдем их. Ускорение aB найдем из (*).

Еще один пример

OA 0 , OA l1; AB l2 ; BD l3 ; DE l4
Определить v E
Дано:

Заключение

Заключение
1. Выведен закон плоского движения.
2. Показано, что плоское движение представляется
суммой простейших движений – поступательного
вместе с полюсом и вращательного вокруг
полюса.
3. Выведены формула связи между скоростями
точек и ее следствия.
4. Определено понятие МЦС и показаны его
своцства.
5. Выведены формула связи между ускорениями
точек и ее следствия.
6. Рассмотрены примеры кинематического расчета
плоских механизмов.

Контрольные вопросы к лекции

1. Сколько степеней свободы имеет твёрдое тело,
совершающее плоское движение?
2. Запишите закон плоского движения твёрдого тела.
3. Как связаны между собой скорости двух точек твёрдого
тела, совершающего плоское движение?
4. Чему равна угловая скорость вращения твёрдого тела?
5. Сформулируйте теорему о проекциях скоростей двух
точек твёрдого тела при плоском движении.
6. Что называется мгновенным центром скоростей?
7. Что нужно знать, чтобы определить МЦС?
8. Из каких составляющих складывается ускорение точки
твёрдого тела, совершающего плоское движение?
9. Чему равно ускорение вращательного движения точки
вместе с телом вокруг полюса?

Кинематика точки.

1. Предмет теоретической механики. Основные абстракции.

Теоретическая механика - это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел

Механическим движением называется перемещение тела по отношению к другому телу, происходящее в пространстве и во времени.

Механическим взаимодействием называется такое взаимодействие материальных тел, которое изменяет характер их механического движения.

Статика - это раздел теоретической механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Кинематика - это раздел теоретической механики, в котором изучаетсядвижение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, независимо от действующих на них сил.

Динамика - это раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве в зависимости от действующих на них сил.

Объекты изучения в теоретической механике:

материальная точка,

система материальных точек,

Абсолютно твердое тело.

Абсолютное пространство и абсолютное время независимы одно от другого. Абсолютное пространство - трехмерное, однородное, неподвижное евклидово пространство. Абсолютное время - течет от прошлого к будущему непрерывно, оно однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материи.

2. Предмет кинематики.

Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (т.е. массы) и действующих на них сил

Для определения положения движущегося тела (или точки) с тем телом, по отношению к которому изучается движение данного тела, жестко, связывают какую-нибудь систему координат, которая вместе с телом образует систему отсчета.

Основная задача кинематики состоит в том, чтобы, зная закон движения данного тела (точки), определить все кинематические величины, характеризующие его движение (скорость и ускорение).

3. Способы задания движения точки

· Естественный способ

Должно быть известно:

Траектория движения точки;

Начало и направление отсчета;

Закон движения точки по заданной траектории в форме (1.1)

· Координатный способ

Уравнения (1.2) – уравнения движения точки М.

Уравнение траектории точки М можно получить, исключив параметр времени « t » из уравнений (1.2)

· Векторный способ

(1.3) Связь между координатным и векторным способами задания движения точки (1.4)

Связь между координатным и естественным способами задания движения точки

Определить траекторию точки, исключив время из уравнений (1.2);

-- найти закон движения точки по траектории (воспользоваться выражением для дифференциала дуги)

После интегрирования получим закон движения точки по заданной траектории:

Связь между координатным и векторным способами задания движения точки определяется уравнением (1.4)

4. Определение скорости точки при векторном способе задания движения.

Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом-вектором , а в момент времени t 1 – радиусом-вектором , тогда за промежуток времени точка совершит перемещение .

(1.5) средняя скорость точки, направлен вектор также как и вектор

Скорость точки в данный момент времени

Чтобы получить скорость точки в данный момент времени, необходимо совершить предельный переход

(1.6)

(1.7)

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке.

(единица измерения ¾ м/с, км/час)

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор Δ v , то есть, направлен в сторону вогнутости траектории.

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

(еденица измерения - )

Как располагается вектор по отношению к траектории точки?

При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения , также как и вектор ср лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор ср будет направлен в сторону вогнутости траектории и будет лежать в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке М 1 . В пределе, когда точка М 1 стремится к М эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.

Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

Статика твердого тела

Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.

Основные понятия и законы статики
• Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.
• Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.
• Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.
• Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.
• Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).
• Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила - действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.
• Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.
• Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.
• Сила – это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
  Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон.
• Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
• Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
• Распределенные силы (распределенная нагрузка) – это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
  Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
  Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м).
• Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.
• Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.
• Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.
• Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
• Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
• Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
• Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.
• Эквивалентные системы сил – это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
  Принятое обозначение: .
• Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.
• Уравновешенная система сил – это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
  .
• Равнодействующая сила – это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
  .
• Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.
• Пара сил – это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
  Принятое обозначение: .
  Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.
• Проекция силы на ось – это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
  Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.
• Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.
• Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
  Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
• Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
  Эти две силы называются уравновешивающимися.
  Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое.
• Закон 3. Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
  Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
  Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.
• Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
  диагонали.
  По модулю равнодействующая равна:
  
• Закон 5 (закон равенства действия и противодействия) . Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
  Следует иметь в виду, что действие - сила, приложенная к телу Б , и противодействие - сила, приложенная к телу А , не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам.
• Закон 6 (закон отвердевания) . Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
  Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела.
• Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.

Связи и их реакции
• Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
• Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
• Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
• Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
• Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

Кинематика

Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.

Основные понятия кинематики
• Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
• Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
• Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
• Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).

Определение кинематических характеристик точки
• Траектория точки
  В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
  В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
  В естественной системе отсчета траектория задается заранее.
• Определение скорости точки в векторной системе координат
  При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
  Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости): .
  Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
  Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
  Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.
• Определение скорости точки в координатной системе отсчета
  Скорости изменения координат точки:
  .
  Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
  .
  Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
  ,
  где — углы между вектором скорости и осями координат.
• Определение скорости точки в естественной системе отсчета
  Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
  Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .

Кинематика твердого тела
• В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
  1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
  2) определение кинематических характеристик точек тела.
• Поступательное движение твердого тела
  Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
  Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения .
  Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки .
• Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
  Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
  Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2π радиана.)
  Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
  Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
  — угловая скорость, рад/с;
  — угловое ускорение, рад/с².
  Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М , то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R . За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние .
  Модуль линейной скорости:
  .
  Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
  ,
  где .
  В итоге, получаем формулы
  тангенциальное ускорение: ;
  нормальное ускорение: .

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.

Основные понятия динамики
• Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.
• Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).
• Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.
• Центр масс механической системы — геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:
  
  где m k , x k , y k , z k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
  В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.
• Момент инерции материального тела относительно оси – это количественная мера инертности при вращательном движении.
  Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
  .
  Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
  
• Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:
• Сила инерции материального тела — это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
  где — ускорение центра масс тела.
• Элементарный импульс силы — это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt :
  .
  Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
  .
• Элементарная работа силы — это скалярная величина dA , равная скалярному прои